Algèbre linéaire Exemples

$x + y - 2 z = 9 c$ , $x + 2 y - 3 z = 3$ , $- 1 x + 4 z = - 6$

Étape 1

Soustrayez $9 c$ des deux côtés de l’équation.

$x + y - 2 z - 9 c = 0, x + 2 y - 3 z = 3, - 1 x + 4 z = - 6$

Étape 2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + y - 2 z - 9 c = 0, x + 2 y - 3 z = 3, - x + 4 z = - 6$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 9 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot 1 & - \frac{1}{9} \cdot 1 & - \frac{1}{9} \cdot - 2 & - \frac{1}{9} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 2 & 4 - 3 & - 6 + 1 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 4.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 3}{2} \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & - 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.4

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{1}{2}) & 3 - 2 (- \frac{3}{2}) \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{9} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{9} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} & 0 + \frac{1}{9} (- \frac{3}{2}) \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{9} & 0 & \frac{5}{18} & - \frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{9} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{5}{18} + \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \cdot 6 \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$c - \frac{z}{6} = \frac{1}{2}$

$x - 4 z = 6$

$y + \frac{z}{2} = - \frac{3}{2}$

Étape 6

Ajoutez $\frac{z}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$c = \frac{1}{2} + \frac{z}{6}$

$x - 4 z = 6$

$y + \frac{z}{2} = - \frac{3}{2}$

Étape 7

Ajoutez $4 z$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6 + 4 z$

$c = \frac{1}{2} + \frac{z}{6}$

$y + \frac{z}{2} = - \frac{3}{2}$

Étape 8

Soustrayez $\frac{z}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{z}{2}$

$c = \frac{1}{2} + \frac{z}{6}$

$x = 6 + 4 z$

Étape 9

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{1}{2} + \frac{z}{6}, 6 + 4 z, - \frac{3}{2} - \frac{z}{2}, z)$

Étape 10

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} c \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{z}{6} \\ 6 + 4 z \\ - \frac{3}{2} - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$